Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方 向 以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时， 动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/ 秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面积最大，最大值是，此时点P（，）．

【解析】

（1）将A（3，0），B（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将A、B两点坐标代入即可求出解析式；

（2）由题意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分两种情况：①若∠AEF=∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；

（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据，得到，由此得到当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，并求出点P的坐标.

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

设直线AB的解析式为y=kx+n，

∴ ，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；

（2）由题意得，OE=t，AF=t，

∴AE=OA﹣OE=3﹣t，

∵△AEF为直角三角形，

∴①若∠AEF=∠AOB=90°时，

∵∠BAO=∠EAF，

∴△AOB∽△AEF

∴=，

∴，

∴t=．

②若∠AFE∠AOB=90°时，

∵∠BAO=∠EAF，

∴△AOB∽△AFE，

∴=，

∴，

∴t=；

综上所述，t=或；

（3）如图，存在，

连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），

∵,

∴

=

=

=，

∵<0，

∴当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，

此时点P（，）．