Question

【题目】如图，在中，，点为的中点，，绕点旋转，、分别与边、交于、两点.下列结论：①；②；③；④；⑤与可能互相平分.

其中，正确的结论是___________________（填序号）

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=BC，从而判断①；设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断②；
由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EF≥AD，从而④错误；先得出S四边形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到ADEF≥AD2，∴ADEF＞S四边形AEDF，所以③错误；如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中， ，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

BD=BC．

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．

∵S△AEF=AEAF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，

∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，
又∵S△ABC=×a2=a2，

∴S△AEF≤S△ABC．

故②正确；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+a2，

∴当x=a时，EF2取得最小值a2，

∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），

而AD=a，

∴EF≥AD．

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，

∵EF≥AD，

∴ADEF≥AD2，

∴ADEF＞S四边形AEDF

故③错误；

当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．

故⑤正确．

综上所述，正确的有：①②⑤．

故答案为：①②⑤．