Question

（2010•潮阳区模拟）如图1，点A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S_阴影=1，△AGB的面积为2．

（1）求双曲线的解析式；
（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S_阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于正方形OCGF的面积是1，得出OC=CG=1，即点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．由点A、B是双曲线y=上的点，得出点A的纵坐标与点B的横坐标都是k，从而可用含k的代数式表示AG，BG，再根据△AGB的面积为2，列出关于k的方程，求解即可；
（2）由于△AGB的面积=AG•BG，所以本题即求AG•BG的值是否为一个常数．为此，设矩形OCGF的边OC=m，则点A的横坐标为m，由S_阴影=OC•OF=1，可知OF=，即点B纵坐标为．然后由点A、B是双曲线y=上的点，得出点A的纵横坐标与点B的横坐标，从而可用含m的代数式表示AG，BG，进而求出AG•BG的值，从而得出结果．
解答：解：（1）∵四边形OCGF是正方形，
∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°，
∵OC²=S_阴影=1，
∴OC=CG=GF=OF=1，
∴点A的横坐标为1，点B纵坐标为1．
∵点A、B是双曲线y=上的点，
∴点A的纵坐标为y=，点B横坐标为x=，
∴AC=k，BF=k，
∴AG=k-1，BG=k-1．
∵∠AGB=∠CGF=90°，
∴S_△AGB=AG•BG=²=2，
解得k=3（取正值）．
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．
理由如下：
设矩形OCGF的边OC=m．
∵S_阴影=OC•OF=1，∴OF=．
∴点A的横坐标为m，点B纵坐标为．
∵点A、B是双曲线y=上的点，
∴点A的纵横坐标为y=，点B横坐标为．
∴AC=，BF=3m．
又FG=OC=m，CG=OF=，
∴AG=AC-CG=-=，BG=BF-FG=3m-m=2m，
∴S_△AGB=AG•BG=••2m=2．
∴点A、B在运动过程中△AGB的面积保持不变．
点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及正方形、矩形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．