Question

设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD=AQ；
（3）BC²=CF•EG．

Answer 1

证明：（1）连接BD，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，
∵C为AB的中点，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
∵BD为半径，
∴AD是⊙B的切线；

（2）∵BD=BG，
∴∠BDG=∠G，
∵CD∥BE，
∴∠CDG=∠G，
∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°-∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°-∠G=67.5°，
∴∠ADQ=∠AQD，
∴AD=AQ；

（3）连接DF，
在△BDF中，BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，
又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
∵∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，
∴Rt△DCF∽Rt△GED，
∴，
又∵CD=DE=BC，
∴BC²=CF•EG．
分析：（1）连接BD，由DC⊥AB，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，再根据正方形的性质，可得∠ADB=90°；
（2）由BD=BG与CD∥BE，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，继而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°，由等角对等边，可证得AD=AQ；
（3）易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，即可证得Rt△DCF∽Rt△GED，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．