Question

如图①，已知：四边形OABC中，O为直角坐标系的原点，A点坐标为（1，4），B点在x轴的正半轴上，C点坐标为（8，-4），动点P从点O出发，依次沿线段OA、AB、BC向点C移动。设P点移动的路径为Z，△POC的面积S随着Z的变化而变化的图像如图②所示（其中线段DE//x轴）。
（1）请你确定B、C两点的坐标；
（2）当动点P是经过点O、B的抛物线的顶点时，
①求此抛物线的解析式；
②在x轴上是否存在点M，使△PBM与△OBC相似？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过C作CQ⊥x轴于Q点， 由图（2）得：当P运动到B时， ∵ 即， ∴， ∴B坐标（9，0）；
（2）①抛物线经过O、B点， ∴ 抛物线的对称轴为， ∴对称轴必与边AB相交, 由题意可知，抛物线的顶点在直线AB上且也在对称轴上， 设直线AB的表达式为y=kx+b， 则可得方程  得 ∴ 又由方程组 解之得 ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把点O的坐标代入得， ∴抛物线的解析式为； ②设在x轴上存在点M。 使△PBM与△OBC相似， ∴ （i）当时，△PBM∽△OBC， 即，BM=5， ∴M（4，0） ∴ （ii）当时，△PBC∽△COB， 即，BM=， ∴M（，0） 所以在x轴上存在点M（4，0）和 （，0） 使△PBM∽△OBC相似。