Question

19．如图，AB为半圆O的直径，直线CE与半圆O相切于点C，点D是$\widehat{AC}$的中点，CB=4，四边形ABCD的面积为2$\sqrt{2}$AC，则圆心O到直线CE的距离是4$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 如图连接OD交AC于G，连接OC，根据S_{四边形ADCB}=S_△ADC+S_△ABC，得到$\frac{1}{2}$•AC•DG+$\frac{1}{2}$•AC•BC=2$\sqrt{2}$AC，求出DG=2$\sqrt{2}$-4，OD=DG+OG=4$\sqrt{2}$-2，由此即可解决问题．

解答 解：如图连接OD交AC于G，连接OC．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，
∴AG=GC，∵OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$•BC=2，
∵S_{四边形ADCB}=S_△ADC+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•DG+$\frac{1}{2}$•AC•BC=2$\sqrt{2}$AC，
∴DG+4=4$\sqrt{2}$，
∴DG=2$\sqrt{2}$-4，
∴OD=DG+OG=4$\sqrt{2}$-2，
∵EC是切线，
∴OC⊥EC，
∴圆心O到直线CE的距离为4$\sqrt{2}$-2．
故答案为4$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查切线的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．