Question

【题目】小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽△DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．

解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得：BC＝4，

∵△BCG∽△DFH，

∴＝，

已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，

∴＝，

∴DH＝10﹣2x，

∵△BCG∽△DFH，

∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，

∴∠AGC＝∠DHE，

∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，

∴∠A＝∠EDH，

∴△AGC∽△DHE，

∴＝，

又DE＝4，

∴＝，

解得：x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．

∴AG＝3．

故答案为：3．