Question

△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．
（1）如图1，当m=2，n=1时，

OB

BE

=

 

，

S△AOE

S四边形CDOE

=

 

；
（2）当m=1.5时，求证：

OA

OD

=

5AE

3CE

；
（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式

 

时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）

Answer 1

分析：（1）过点E作EF∥BC，交AD于F，根据n=1可知点E是AC的中点，所以EF=

1

2

DC，再根据m=2可以整理出EF与BD的比，从而得到OB与OE的比值，

OB

BE

可得；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出△AEF与△ACD的比值，再根据等高的△AEF与△OEF面积的比等于底边的比求出△AEF与△OEF的面积的比，然后用△OEF的面积表示出△AEF的面积，然后结合图形解答；
（2）过点D作DF∥AC交BE于点F，根据平行线分线段成比例定理可以得到

OA

OD

=

AE

FD

，

FD

CE

=

BD

BC

，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四条线段与m、n的关系，把m=1.5代入计算即可得证明；
（3）同（2）的思路，过点D作DH∥AB交FC于点H，可以得到AF、FB与m、n的关系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的关系．

解答：（1）解：过点E作EF∥BC，交AD于F，
∴

EF

CD

=

AE

AC

，
∵AE=EC，
∴

EF

CD

=

1

2

，
∵BD=2CD，
∴

EF

BD

=

1

4

，
∵

OB

OE

=

BD

EF

=4，
∴

OB

BE

=

4

5

，
∴

S△AEF

S△ACD

=

1

4

，
∵

AF

AD

=

1

2

，

OF

OD

=

EF

BD

=

1

4

，
∴

OF

AF

=

1

5

，
设S_△OEF=x，则S_△AEF=5x，S_△ABC=20x，
∴S_△AOE=6x，S_{四边形CDOE}=14x，
∴

S△AOE

S四边形CDOE

=

3

7

；

（2）证明：如图，过点D作DF∥AC交BE于点F，
∴

OA

OD

=

AE

FD

，

FD

CE

=

BD

BC

，
∵BD=mCD，AE=nEC，
∴FD=

BD

BC

×CE=

m

m+1

CE，
∴

OA

OD

=

AE

CE

•

m+1

m

，
∵m=1.5，
∴

OA

OD

=

AE

CE

•

5

3

，
即

OA

OD

=

5AE

3CE

；

（3）解：过点D作DH∥AB交FC于点H，与（2）同理可得，

OA

OD

=

AF

DH

，

DH

BF

=

CD

BC

，
∵BD=mCD，
∴DH=

CD

BC

•BF=

1

m+1

BF，
∴

OA

OD

=

AF

BF

（m+1），
∵

OA

OD

=

AE

CE

•

m+1

m

，AE=nEC，
∴

AF

BF

=

AE

CE

•

1

m

=

n

m

，
∴当AF=2BF时，

n

m

=2，
解得n=2m．
故答案为：（1）

4

5

，

3

7

；（3）n=2m．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，合理作出辅助线是解题的关键，难度较大，极富挑战性．