Question

如图，已知等腰梯形ABNC的边AB在x轴上，点C在y轴的正方向上，C（0，6），
N （4，6），且AC=．
（1）求点A的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、C、B三点，求二次函数的解析式，并写出顶点M的坐标；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使P点到直线BC与x轴的距离相等？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOC中，∵AC=，OC=6，∴AO=2，∴A（-2，0）；

（2）由等腰梯形的对称性可知OB=CN+OA=4+2=6，即B（6，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-6），将C（0，6）代入，得a=-，
∴y=-（x+2）（x-6），即y=-x²+2x+6=-（x-2）²+8，顶点M（2，8）；

（3）存在．
如图，设直线BC与抛物线对称轴交于F点，直线BC解析式为y=-x+6，与x轴夹角为45°，F（2，4），
设P（2，m）则PF=|4-m|，
由等腰直角三角形的性质可知，P点到直线BC=，
依题意，得|m|=，解得m=4-4或-4-4．

分析：（1）在△AOC中，运用勾股定理求OA即可；
（2）根据梯形，抛物线的对称性求B点坐标，再设抛物线的交点式，把C点坐标代入求抛物线解析式，将解析式配方求顶点M坐标；
（3）设直线BC与抛物线对称轴交于F点，直线BC与x轴夹角为45°，则P点到直线BC=，根据题意列方程求P点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求A点坐标及抛物线解析式，判断△OBC为等腰直角三角形，利用特殊三角形的性质求解．