Question

如图，抛物线y=

1

2

x²-x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=-2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作?ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²-x+a其顶点在直线y=-2x上．
∴抛物线y=

1

2

x²-x+a，
=

1

2

（x²-2x）+a，
=

1

2

（x-1）²-

1

2

+a，
∴顶点坐标为：（1，-

1

2

+a），
∴y=-2x，-

1

2

+a=-2×1，
∴a=-

3

2

；

（2）二次函数解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∵抛物线y=

1

2

x²-x-

3

2

与x轴交于点A，B，
∴0=

1

2

x²-x-

3

2

，
整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
A（-1，0），B（3，0）；

（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵

∠DEB=∠AOC ∠DBE=∠CAO BD=AC

∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∴图象与y轴交点坐标为：（0，-

3

2

），
∴CO=

3

2

，∴DE=

3

2

，
D点的坐标为：（2，

3

2

），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，-

3

2

），
代入解析式y=

1

2

x²-x-

3

2

，
∵左边=-

3

2

，右边=

1

2

×4-2-

3

2

=-

3

2

，
∴D′点在函数图象上．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键．