Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B点（A点在B点的左边），与y轴交点C的纵坐标为2．若方程x2+

b

a

x+

c

a

=0的两根为x₁=1，x₂=-2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段AM上一动点，过P点作x轴的垂线，垂足为H点，设OH的长为t，四边形BCPH的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）将△BOC补成矩形，使△BOC的两个顶点B、C成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标

 

．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线过与y轴的交点的纵坐标为2，可得出c=2．根据题中给出的方程以及方程的解，可得出a，b以及a，c的比例关系，根据c的值，即可求出a，b的值，由此可求出抛物线的解析式．
（2）本题可根据抛物线的解析式得出各点的坐标，然后根据四边形BCPH的面积=梯形PHOC的面积+△BOC的面积，可得出关于S，t的函数关系式．
（3）本题已告诉了O点在矩形的BC边的对边上，那么过矩形未知两顶点的直线的解析式为y=-2x（直线BC的解析式是y=-2x+2，由于矩形的对边互相平行，因此这条直线的斜率也是-2）．而矩形中过B点的BC的邻边的解析式为y=

1

2

x+2（两直线垂直，斜率的积为-1）．由此可求出一个矩形未知顶点的坐标，同理可求出另一点的坐标．

解答：解：（1）由题意得：

- b a =1-2 c a =-2 c=2

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
即抛物线的解析式为：y=-x²-x+2．

（2）根据（1）中抛物线的解析式可求得：A（-2，0），B（1，0），C（0，2），M（-

1

2

，

9

4

）．
如图设抛物线的对称轴与x轴交于N点，
∵PH∥MN，
∴

AH

AN

=

PH

NM

，
∵OH=t，AH=2-t，MN=

9

4

，AN=OA-ON=

3

2

，
∴PH=AH•MN÷AN=

6-3t

2

，
∴S=S_梯形PHOC+S_△BOC=

1

2

（PH+OC）•OH+

1

2

OB•OC=-

3

4

t2+

5

2

t+1（

1

2

≤t＜2）．

（3）（-

4

5

，

8

5

）（

1

5

，-

2

5

）．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的应用，矩形的判定等知识点．（3）中运用好平行和垂直时直线斜率的关系是解题的关键．