Question

已知抛物线y=ax²+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

Answer 1

解：（1）依题意：，
解得；
∴抛物线的解析式为y=-2x²+4x+1．

（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A'的坐标是（-1，3），
点B（2，1）关于x轴的对称点B'的坐标是（2，-1）；
由对称性可知AB+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'≥AB+A'B'，
由勾股定理可求AB=，A'B'=5．
所以，四边形ABCD周长的最小值是．

（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线EG成45°角，
则EG与对称轴的交点为所求的F点；
设对称轴于x轴交于点H；
在Rt△HEF中，由HE=1，∠FHE=90°，∠EFH=45°，
得HF=1．
所以，点F的坐标是（1，1）．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）取A关于y轴的对称点A′，取B关于x轴的对称点B′，根据轴对称和两点间线段最短可得：此时A′B′的长即为AD+CD+BC的最小值，易求得A′、B′的坐标，即可得到线段A′B′的长，那么AB+A′B′即为四边形ABCD的最小周长．
（3）由于点P在对称轴上的运动速度较快，因此尽量使用这个速度可以使点P到E点的时间最少；由于点P在对称轴上的速度是P在直线FE上的倍，因此只有当△FHE（设对称轴与x轴的交点为H）为等腰直角三角形时，从F→H→E和F→E所用时间相同，因此可过E作直线FE使得EF与对称轴的夹角为45°，那么此时直线EF与对称轴的交点就是所求的点F，易求得AH的长，而EH=FH=1，由此可求得F点的坐标．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定以及平面展开-最短路径问题；（3）题中，能够抓住点P在对称轴和直线FE上的速度关系，是判断F点位置的关键．