Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点为正方形对角线的交点，点，点，点.分别延长到，到，使，，再以，为邻边作平行四边形.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，将四边形绕点逆时针旋转得四边形，点，，旋转后的对应点分别为，，，旋转角为.

①旋转过程中，当时，求点的坐标；

②在旋转过程中，求的取值范围（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①或，②

【解析】

（Ⅰ）过作轴于H，根据四边形是正方形和A、B两点的坐标的得出正方形的边长为2，再根据正方形的性质得出OP=PC=，结合已知条件利用三角函数得出OH和DH的长即可.

（Ⅱ）①当时，分旋转角=和进行讨论，都是过作的垂线，垂足记作，利用等腰三角形的性质和三角函数求得的长，从而确定点的坐标；

②先根据正方形的判定，结合已知条件证出四边形是正方形，求出对角线PE=4,从而得出点的运动轨迹是在以B为圆心，4为半径的圆，继而求出的取值范围；

解：

（Ⅰ）过作轴，垂足记作，

∵四边形是正方形，，点，点.

∴正方形的边长为，

∴，∴

∵=，∴

在等腰中，.

∴点的坐标为

（Ⅱ）①过点作的垂线，由点落在垂线上.

在中，

∵，∴.

∴.

∴旋转角或

当时，

在中，

过作的垂线，垂足记作.

∵，，

∴.

在中，.

∴点的坐标为

当时，

在中，∵，∴.

∵，，∴.

在中，.

∴点的坐标为.

综上所述，当时点的坐标为或

②∵四边形平行四边形,AB⊥OC

∴平行四边形是矩形；

∵，，PC=PA,

∴PD=PF，∴矩形是正方形；

∴PE=4

∴点在以B为圆心，4为半径的圆上运动；

∴；

∴的取值范围: