Question

【题目】如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（　　）

A.60
B.80
C.30
D.40

Answer 1

【答案】D
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．

设OA=a，BF=b，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ，∴AM=OAsin∠AOB= a，OM= = a，∴点A的坐标为（ a， a）．∵点A在反比例函数y= 的图象上，∴ a× a= =48，
解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．
∴AM=8，OM=6．
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA，
∴∠FBN=∠AOB．
在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN= ，∠BNF=90°，∴FN=BFsin∠FBN= b，BN= = b，∴点F的坐标为（10+ b， b）．∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴（10+ b）× b=48，解得：b= ，或b= （舍去）．∴FN= ，BN= ﹣5，MN=OB+BN﹣OM= ﹣1．S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=Sspan>梯形AMNF= （AM+FN）MN= （8+ ）×（ ﹣1）= ×（ +1）×（ ﹣1）=40．
故选D．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、解直角三角形、梯形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出S梯形AMNF ． 本题属于中档题，难度不大，但数据较繁琐，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法找出所求三角形的面积与梯形面积相等是关键．