Question

△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE=60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E．
（1）如图1，点D在BC上，求证：CA=CD+CE；
（2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系，

Answer 1

分析：（1）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CD+CE；
（2）首先在AC延长线上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CE-CD．

解答：证明：（1）在AC上截取CM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC，
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=120°=∠AMD，
在△ADM和△EDC中，

∠ADM=∠EDC MD=CD ∠AMD=∠ECD

，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM=EC，
∴CA=CM+AM=CD+CE；


（2）CA=CE-CD．
证明：在AC的延长线上截取CM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCM=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠ECD=∠AMD，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDM，
∴∠ADM=∠EDC，
在△ADM和△EDC中，

∠ADM=∠EDC MD=CD ∠AMD=∠ECD

，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AM=EC，
∴CA=AM-CM=CE-CD．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．