Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是

AB

的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD交于AB于点G．
∵D是

AB

的中点，OD为半径，
∴AG=BG．（2分）
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．（2分）
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．（1分）

（2）在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．（1分）
设半径OC=OD=r，则OF=10-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴

FO

FC

=

OD

CE

，（2分）
∴

10-r

10

=

r

6

，
∴r=

15

4

，
即：⊙O的半径为

15

4

．（2分）