Question

如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB₁是△ABC的高，B₁B₂是△ABB₁的高，B₂B₃是△AB₁B₂的高，B₃B₄是△AB₂B₃的高，…B_n-1B_n是△AB_n-2B_n-1的高
（1）求BB₁的长；
（2）填空：B₁B₂的长为

 

，B₂B₃的长为

 

；
（3）根据（1）、（2）的计算结果，猜想写出B_n-1B_n的值（用含n的代数式表示，n为正整数）．

Answer 1

分析：本题要根据等边三角形的性质、勾股定理的多次运用求解，再根据规律推出B_n-1B_n的值．

解答：解：（1）∵△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB₁是△ABC的高
∴BC=1，B1C=

1

2

∵在直角三角形BB₁C中
BC²=BB₁²+B₁C²
∴BB₁=

BC2-B1C2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

；

（2）∵△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB₁是△ABC的高
∴AB₁=

1

2

∵B₁B₂是△ABB₁的高
∴

1

2

×B₁B₂×AB=

1

2

×AB₁×BB₁
∵BB₁=

3

2

∴B₁B₂=

3

4

．
同理可得B₂B₃=

3

8

．

（3）猜想：Bn-1Bn=

3

2n

．

点评：本题是开放性试题，要求具备较强的逻辑推理能力．