Question

【题目】如图1，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，连接.将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当时，；②当时，；

（2）拓展探究

试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决

当旋转至时，请直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不变，证明见解析；（3）2或2

【解析】

（1）①当=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出BD、AE的比值；

②中，图形如下，与①有所变化，但求解方法完全相同；

（2）证明△ECA∽△DCB，从而根据边长成比例得出比值；

（3）存在2种情况，一种是当时，；另一种是当时，，分别利用勾股定理可求得．

（1）①∵在中，，，，点D，E分别是边，的中点

∴CD=BD=2，在Rt△ABC中，AB=，AC=

∴AE=

∴；

②图形如下：

同理可知：BC=4，AC=，DC=2，DE=，CE=

∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC==

∴；

（2）不变，理由如下

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴；

（3）情况一：当时，，图形如下，过点D作BC的垂线，交BC延长线于点F

∵ED∥AC，∴∠ACD=∠EDC=90°

∵∠ACB=∠ECD=30°

∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60°

∵CD=2

∴在Rt△DCF中，CF=1，FD=

∴FB=FC=CB=1+4=5

∴在Rt△FDB中，DB=2；

情况二：当时，，图形如下，过点D作BC的垂线，交BC于点F

∵DE∥AC，∴∠ACD=90°

∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°

∵CD=2，∴在Rt△CDF中，CF=1，DF=

∴FB=CB－CF=4－1=3

∴在Rt△FDB中，DB=2

综上得：DB的长为2或2．