Question

5．若a、b、c为△ABC的三边．
（1）判断代数式a²-2ab-c²+b²的值与0的大小关系，并说明理由；
（2）满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式和平方差公式先将代数式进行变形，然后利用三角形三边关系即可判断．
（2）根据完全平方公式将题目所给的等式进行变形，然后利用非负性即可求出答案．

解答 解：（1）a²-2ab-c²+b²=（a-b）²-c²=（a-b+c）（a-b-c）
∵a+c＞b，a＜b+c，
∴a-b+c＞0，a-b-c＜0，
∴a²-2ab-c²+b²＜0
（2）∵a²+b²+c²=ab+ac+bc
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²=0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查三角形三边关系，涉及等边三角形的判定，任意三角形三边关系，完全平方公式，题目较为综合．