Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，∠E＝30°，AC＝5．

（1）求CE的长；

（2）求S△ADC：S△ACE的比值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）﹣3．

【解析】

（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由∠ABC=30°可得出AB的长，再由CE平分∠ACB得出∠BCE=∠BAE=45°，故可得出△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理可得出AE的长；过点A作AF⊥CE于点F，△ACF为等腰直角三角形，由勾股定理得，AF和CF的长，再由勾股定理逆定理得EF的长，最后计算CE=CF+EF的长即可；（2）过点C作CM⊥AB于点M，连接OE，利用等底三角形的面积比等于高之比，得出：=，再通过比值计算即可得：的比值．

解：

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

又∠E＝30°，

∴∠ABC＝30°，

∵AC＝5，

∴AB＝10，BC＝，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE＝45°，AE＝BE＝.

如图，过点A作AF⊥CE于点F，

则△ACF为等腰直角三角形，

∴，

∴2CF2＝25，

∴AF＝CF＝，

∴EF＝ ，

∴CE＝CF+EF＝，

∴CE的长为.

（2）过C作CM⊥AB于点M，连接OE，

∵AE＝BE，O为AB中点，

∴OE⊥AB，

∴S△ADC：S△ADE＝CM：OE＝CM：5，

∵ACBC＝ABCM，

∴CM＝，

∴S△ADC：S△ADE＝，

∴S△ADC：S△ACE＝.