Question

【题目】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，以面积早就成为人们认识图形性质与几何证明的有效工具，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？

（1）方法1：如图①，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．请直接写出S四边形ABCD和之间的关系：_______________．

方法2：如图②，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）请直接写出S四边形ABCD与之间的关系：_____________．

方法3：如图③，取四边形四边的中点，，，，连接，交于点．先将四边形绕点旋转得到四边形，易得点，，在同一直线上；再将四边形绕点旋转得到四边形，易得点，，在同一直线上；最后将四边形沿方向平移，使点与点重合，得到四边形；

（4）由旋转、平移可得_________，_________，所以，所以点，，在同一直线上，同理，点，，也在同一点线上，所以我们拼接成的图形是一个四边形．

（5）求证：四边形是平行四边形．

（注意：请考生在下面2题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）

（6）应用1：如图④，在四边形中，对角线与交于点，，，，则S四边形ABCD= ．

（7）应用2：如图⑤，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，连接，交于点，，，，则S四边形ABCD=___________

Answer 1

【答案】（1）S四边形ABCD；（2）见详解；（3）S四边形ABCD ；（4）AEO，OEB；（5）见详解；（6）；（7）

【解析】

（1）先证四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,可得S△ABO=S四边形AEBO, S△BCO=S四边形BFCO, S△CDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,

即可得出结论；

（2）证明，和，，即可得出结论；

（3）由，可得S四边形MNHE=S△ABD, S四边形MNGF=S△CBD，即可得出结论；

（4）有旋转的定义即可得出结论；

（5）先证，得到，再证，即可得出结论；

（6）应用方法1，过点H作HM⊥EF与点M,再计算即可得出答案；

（7）应用方法3，过点O作OM⊥IK与点M, 再计算即可得出答案.

解：方法一：如图，

∵EF∥AC∥HD,EH∥DB∥FG,

∴四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,

∴S△ABO=S四边形AEBO, S△BCO=S四边形BFCO, S△CDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,

∴．

故答案为.

方法二：如图，连接．

（1），分别为，中点

．．

，分别为，中点

．

，

四边形为平行四边形

（2），分别为，中点

．．

∴S四边形MNHE=S△ABD, S四边形MNGF=S△CBD,

∴

故答案为.

方法3．（1）有旋转可知；．

故答案为∠AEO;∠OEB.

（2）证明：有旋转知．

．

旋转．

四边形为平行四边形

应用1：如图，应用方法1，过点H作HM⊥EF与点M,

∵，

∴∠AEM=60°, ∠EHM=30°,

∵，，

∴EM=3,EH=6,EF=8,

∴HM==,

∴=EF·HM=24

∴=,

故答案为.

应用2：如图，应用方法3，过点O作OM⊥IK与点M,

，

∵，

∴∠MIO=60°, ∠IOM=30°,

∵，，

∴IM=3,OI=6,IK=8,

∴OM==,

∴=KI·OM=24

∴S四边形ABCD=,

故答案为.