如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.BA=BC.点D是AB的中点.连结CD.过点B作BG⊥CD.分别交CD.CA于点E.F.与过点A且垂直于AB的直线相交于点G.连结DF．给出以下四个结论:①$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$,②FG=$\frac{1}{2}$FB,③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}AB$,④S△ABC=5S△BDF.其中正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$；②FG=$\frac{1}{2}$FB；③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}AB$；④S_△ABC=5S_△BDF，其中正确结论的序号是①②③．

分析根据同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABC和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG=$\frac{1}{2}$BC，再求出△AFG和△CFB相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{FG}{FB}$，从而判断出①正确；由AG=$\frac{1}{2}$BC，所以FG=$\frac{1}{2}$FB，故②正确；根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，再根据等腰直角三角形的性质可得AC=$\sqrt{2}$AB，然后整理即可得到AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，判断出③正确；过点F作MF⊥AB于M，根据三角形的面积整理即可判断出④错误．

解答解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠BCD}\\{AB=BC}\\{∠BAG=∠CBD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵点D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AG}{CB}=\frac{FG}{FB}$，
∵BA=BC，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$，
故①正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴$\frac{GF}{BF}=\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$FB，
故②正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，故③正确；
过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FM}{BC}=\frac{1}{3}$，
∵$\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S△BDF}{S△ABC}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•FM}{\frac{1}{2}AB•BC}$=$\frac{BD}{AB}•\frac{FM}{BC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，故④错误．
故答案为：①②③．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．

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