Question

3．如图，AB是⊙O的直径，C是$\widehat{AB}$的中点，延长AC至点D，使AC=CD，DB的延长线交CE的延长线于点F，AF交⊙O于点M，连接BM．
（1）求证：DB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，E是OB的中点，求BM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，根据垂径定理得OC⊥AB，再证明CO是△ADB的中位线，则CO∥DB，所以BD⊥AB，于是根据切线的判定定理得到DB是⊙O的切线；
（2）由CO∥DB得△OCE∽△BFE，则$\frac{OE}{BE}$=$\frac{BF}{OC}$，由于OE=EB，则BF=CO=2，于是在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=2$\sqrt{5}$，接着根据圆周角定理得到∠AMB=90°，所以可利用面积法计算BM的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，
∴OC⊥AB，
∵AC=CD，AO=BO，
∴CO是△ADB的中位线．
∴CO∥DB，
∴BD⊥AB，
又∵点B在⊙O上，
∴DB是⊙O的切线；
（2）解：∵CO∥DB，
∴△OCE∽△BFE，
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{BF}{OC}$，
∵E是OB的中点，
∴OE=EB，
∴BF=CO=2，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=2，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴$\frac{1}{2}$BM•AF=$\frac{1}{2}$AB•BF，
∴BM=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了三角形中位线定理和勾股定理．