小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题:“如图(1).在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED=EC.试确定线段AE与DB的大小关系.并说明理由．小敏与小颖讨论后.进行了如下解答:(1)取特殊情况.探索讨论:当点E为AB的中点时.如图(2).确定线段AE与DB的大小关系.请你写出结论:AE=DB.并说明理由．(2)特例启发.解答题目:解:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为3或1．（请你画出图形，并直接写出结果）．

分析（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，进而得到AE=DB；
（2）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，进而得出AE=DB；
（3）分两种情况：点E在AB上和在BA的延长线上，作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF，求出EF的长度，即可解决问题．

解答解：（1）AE=DB，
理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
故答案为：=；

（2）如图3，∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
故答案为：=；

（3）如图4，当点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}\\{∠EFC=∠DBE}\\{EC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2-1=1，
故答案为：3或1．

点评本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定等知识；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断．

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