Question

【题目】已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为．

【解析】

(1)设交点式，利用待定系数法进行求解即可；

(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；

(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点，则点N，根据可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；

(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q， 此时，则最小值，求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标，进行求得AH的长即可得答案.

(1)函数的表达式为：，

即：，解得：，

故抛物线的表达式为：，

则顶点；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，

∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，

∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，

∴四边形ADBM为菱形，

又∵，

菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B、C的坐标代入得：，

解得：，

所以直线BC的表达式为：y=-x+3，

过点P作y轴的平行线交BC于点N，

设点，则点N，

则，

，故有最大值，此时，

故点；

(4)存在，理由：

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，

此时，

则最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，

∴F(-，0)，

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，

∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，

∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AOtan∠FAQ=，

∴Q(0,)，

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

故点，而点，

则，

即的最小值为．