Question

5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）将△ABC绕点C顺时针旋转120°得△A′B′C．
①求点B旋转经过的路径长；
②求线段BB′的长；
（2）如图2，过点C作AC的垂线与AB的延长线交于点D，将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CD′．在图2中画出线段AD绕点C旋转所形成的图形（用阴影表示），并求出该图形的面积．

Answer 1

分析 （1）①由旋转的性质可知∠BCB′=120°，然后由扇形的弧长公式即可求得点B旋转经过的路径长；②由特殊锐角三角函数值可求得BB′的长；
（2）首先画出图形，然后根据S₁=S₂，可求得S₁+S₄的面积，然后再利用扇形面积-等边三角形ECD′的面积，从而可求得答案．

解答 解：（1）①∵AC=2，∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=1．
∴点B旋转的路径=$\frac{1}{3}×2π×{1}^{2}$=$\frac{2}{3}$π；…（2分）
②如下图所示：

在△BCB′中，CB=CB′，∠BCB′=120°，AC⊥BB′
∴sin∠CBE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BB′=$\sqrt{3}$；…（4分）
（2）如图所示：
…（5分） 
∵S₁=S₂，
∴S₂+S₄=S₁+S₄=$\frac{1}{4}$π（AC²-BC²）=$\frac{1}{4}π（{2}^{2}-{1}^{2}）$=$\frac{3}{4}π$．
在Rt△ABD中，DC=AC•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S₃=$\frac{1}{6}×π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{2}{9}π-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S₂+S₃+S₄=$\frac{3}{4}π+\frac{2}{9}π-\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{35}{36}π-\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（8分）

点评 本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质画出图形，然后根据S₁=S₂，求得S₂+S₄是解题的关键．