Question

20．点P是正方形ABCD的边CD上一点，EF垂直平分BP分别交BC，AD于点E，F，GP⊥EP交AD于G，连接BG交EF于H，有下列结论：①BP=EF；②以BA为半径的⊙B与GP相切；③∠FHG=45°；④若G为AD的中点，则DP=2CP．其中正确的结论是①②③④．（填所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 先作NF⊥BC于N，根据正方形的性质和垂直平分线的性质证明△BCP≌△FNE就可以得出BP=EF，作BM⊥PG于M，GP⊥EP，通过证明两次三角形全等就可以得出∠PBG=45°，从而求出∠FHG=45°，由切线的判定定理就可以求出以BA为半径⊙B与GP相切，当G为AD的中点时，设AG=GD=x，CP=y，则GM=x，PM=y，PD=2x-y，运用勾股定理就可以求出DP与CP的关系．

解答 解：作NF⊥BC于N，
∴∠FNE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=DA．
∴NF=AB
∴NF=CB．
∵EF垂直平分BP，
∴∠2=∠3，∠2+∠NEF=90°．
∵∠1+∠NEF=90°，
∴∠1=∠2，
在△BCP和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{BC=FN}\\{∠C=∠FNE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△FNE（ASA），
∴BP=EF；故①正确；
作BM⊥PG于M，GP⊥EP，
∴BM∥EP，∠BMP=∠BMG=90°
∴∠3=∠5，∠BMP=∠C．
∴∠2=∠5
在△BPC和△BPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BMP}\\{∠2=∠5}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△BPM（AAS），
∴BC=AB=BM，
∴以BA为半径⊙B与GP相切．故②正确；
在Rt△BMG和Rt△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BG}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMG≌Rt△BAG（HL），
∴∠6=∠7．
∵∠2+∠5+∠6+∠7=90°，
∴2∠5+2∠6=90°，
∴∠5+∠6=45°
即∠PBG=45°．
∴∠8=45°．
∴∠FHG=45°故③正确；
当G为AD的中点时，设AG=GD=x，CP=y，则GM=x，PM=y，PD=2x-y，
在Rt△PGD中由勾股定理，得
（x+y）²=x²+（2x-y）²，
∴y=$\frac{2}{3}$x，
即CP=$\frac{2}{3}$x
∴PD=2x-$\frac{2}{3}$x=$\frac{4}{3}$x，
∴DP=2CP故④正确．
∴正确的有：①②③④，
故答案为：①②③④．

点评 此题主要考查了圆的综合应用以及垂直平分线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质的而运用、圆的切线的判定方法的运用、勾股定理的性质的运用等知识，在解答中运用作辅助线制造全等三角形是关键．