Question

8．如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，点P₁，P₂，P₃，…，P_n都在函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃、…、A_n-1A_n都在x轴上．A₄点的横坐标为（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 由于△P₁OA₁是等腰直角三角形，可知直线OP₁的解析式为y=x，将它与y=$\frac{4}{x}$联立，求出方程组的解，得到点P₁的坐标，则A₁的横坐标是P₁的横坐标的两倍，从而确定点A₁的坐标；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，则A₁P₂∥OP₁，直线A₁P₂可看作是直线OP₁向右平移OA₁个单位长度得到的，因而得到直线A₁P₂的解析式，同样，将它与y=$\frac{4}{x}$联立，求出方程组的解，得到点P₂的坐标，则P₂的横坐标是线段A₁A₂的中点，从而确定点A₂的坐标；依此类推，从而确定点A₄的坐标．

解答 解：过P₁作P₁B₁⊥x轴于B₁，
易知B₁（2，0）是OA₁的中点，
∴A₁（4，0）．
可得P₁的坐标为（2，2），
∴P₁O的解析式为：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，∴A₁P₂的表达式一次项系数相等，
将A₁（4，0）代入y=x+b，
∴b=-4，
∴A₁P₂的表达式是y=x-4，
与y=$\frac{4}{x}$（x＞0）联立，解得P₂（2+2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$）．
仿上，A₂（4$\sqrt{2}$，0）．
P₃（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$），A₃（4$\sqrt{3}$，0）．
依此类推，点A_n的坐标为（4$\sqrt{n}$，0）
故点A₄的坐标是（8，0）．
故选A．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是找出求P点坐标的规律，以这个规律为基础求出P₁₀的横坐标，进而求出A₁₀的横坐标的值，从而可得出所求的结果．