Question

【题目】我们可以用表示为自变量的函数，如一次函数，可表示，，．

（1）已知二次函数；

①求证：不论为何值，此函数图像与轴总有两个交点；

②若，是否存在实数，使得当时，函数的最小值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）已知函数，，若实数、使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①证明见详解；②存在，或；（2）．

【解析】

(1)①f(x)=x22axa2，则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，所以不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②由已知可求f(x)=x2+2x1，则有g(x)=f(x)2mx=x2+(22m)x1=(x+1m)2(m22m+2)，分两种情况求解：当mm1m+2时，即m2，g(m1)=(m22m+2)= ，；当m1<m时，即m<2，g(m)= m2+m1=；
(2)由f(x)=g(y)=3，可得4x42x2=3，求得x2=，再由y4+y2=3，求得y2=，，则有4x4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．

解：(1)①f(x)=x22axa2，
则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，
∴不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②f(1)=2，则a=1，
∴f(x)=x2+2x1，
g(x)=f(x)2mx=x2+(22m)x1=(x+1m)2(m22m+2)，
∴g(x)的对称轴为x=m1，
当mm1m+2时，即m2，g(m1)=(m22m+2)= ，
∴；
当m1<m时，即m<2，g(m)= m2+m1=，
∴m=；
综上所述：或m=-时，g(x)最小值为；
(2)∵f(x)=g(y)=3，
∴4x42x2=3，
令x2=t，则有4t22t=3，
∴t=，
∵t>0，
∴t=，
∴y4+y2=3，
∴y2=，
∴4x4+y4=4t2+y4=4×()2+()2=7．