如图8-12,已知AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB. 图8-12 (1)问:△ADF与△CBE全等吗?请说明理由. (2)如果将△BEC沿CA边方向平行移动,可有图8-13中3幅图,如上面的条件不变,结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图8-12,已知AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB.

图8-12

(1)问:△ADF与△CBE全等吗?请说明理由.

(2)如果将△BEC沿CA边方向平行移动,可有图8-13中3幅图,如上面的条件不变,结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由.

(1)全等.

提示：证明：∵AE=CF,∴AF=CE.

又∵∠DAF=∠BCE，AD=CB,∴△ADF≌△CBE.

答案：(2)成立.

提示：如第一幅图证明：

∵AE=CF,∴AF=CE.

又∵∠DAF=∠BCE，AD=CB,∴△ADF≌△CBE.

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如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=12，cosB=

，点P在边

BC上移动（点P不与点B、C重合），点Q在射线AD上移动，且在移动的过程中始终有∠APQ=∠CAD，PQ交AC于点E．
（1）求对角线AC的长；
（2）若PB=4，求AE的长；
（3）当△APE为等腰三角形时，求PB的长．

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我市关工委为了解本市九年级学生的睡眠时间情况，对我校若干名九年级学生的睡眠时间t（3～9小时之间）进行了抽查，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图的一部分（如图）．已知图中从左到右前五个小组的频率分别是0.04，0.12，0.20，0.28，0.24，第三小组的频数为20．请回答：
（1）这次被抽查的学生的人数是多少？求出第六小组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）被抽查的学生中，睡眠时间是在哪个范围内的人数最多？这一范围内的人数是多少？
（3）如果我校有1500名九年级学生，若合理睡眠时间范围是7≤t＜9，那么请你估计一下我校九年级学生中睡眠时间在此范围内的人数是多少？

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（1）完成下面的证明：
已知：如图1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．
求证：∠EGF=90°．
证明：∵HG∥AB，（已知）
∴∠1=∠3．（

两直线平行，内错角相等

）
又∵HG∥CD，（已知）
∴∠2=∠4．（

两直线平行，内错角相等

）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+

∠EFD

=180°．（

两直线平行，同旁内角互补

）
又∵EG平分∠BEF，（已知）
∴∠1=

∠

BEH

．（

角平分线定义

）
又∵FG平分∠EFD，（已知）
∴∠2=

∠

EFD

．（

角平分线定义

）
∴∠1+∠2=

（

∠BEH

∠EFD

）．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3+∠4=90°．（

等量代换

）．即∠EGF=90°．
（2）如图2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪个角呢？答：

∠B

；
小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到图3，
①请你帮小明在图中画出这条高；
②在图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角，你能帮小明把它们写出来吗？答：a

∠ACD与∠BCD

；b

∠A与∠ACD

；c

∠B与∠BCD

．
③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明还发现了另外两对相等的角，请你也仔细地观察、认真地思考分析，试一试，能发现吗？把它们写出来，并请说明理由．
（3）在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
①观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标为

（16，3）

，B₄的坐标为

（32，0）

．
②按以上规律将△OAB进行n次变换得到△A_nB_n，则可知A_n的坐标为

（2ⁿ，3）

，B_n的坐标为

（2ⁿ⁺¹，0）

．
③可发现变换的过程中A、A₁、A₂、…、A_n纵坐标均为

．