Question

【题目】已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+ ．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）
若AB= ， 求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）则A，B两点间的距离为AB=）

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=-1时，l1：y=﹣x+2，

联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；

（2）

解：根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的两根，

∴ ①，

∴AB==

=

=，

将①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=；

（3）

解：∵直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F,

∴ F（，）.

如图：

设P（x，），则M（﹣+，），

则PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．

【解析】（1）将l1与y=组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根据根与系数的关系得到2k2+5k+2=0，从而求出k的值；
（3）设P（x，），则M（﹣+ ， ），根据PM=PF，求出点P的坐标．