Question

【题目】如图,已知,,,点是射线上的一个动点(点与点不重合),点是线段上的一个动点(点与点不重合),连接,过点作的垂线，交射线于点连接.设

(1)当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

(2)在(1)的条件下，取线段的中点,连接,若,求的长；

(3)如果动点在运动时,始终满足条件那么请探究：的周长是否随着动点的运动而发生变化?请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的周长不变，理由见解析

【解析】

（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．

(1)由题中条件可得△AED∽△BCE，

∴，

∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1

∴BE=4x，

∴，

∴；

(2)∵DE⊥EC，

∴∠DEC=90°，

又∵DF=FC，

∴DC=2EF=2×2.5=5，

如图所示，过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，

∴Rt△DHC中, ，

∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，

∴

解得：，

∴AE=2；

(3)△BCE的周长不变. 理由如下：

，BE=4x，

设AD=m，则DE=4m，

∵∠A=90，

∴DE2=AE2+AD2即,(4m)2=x2+m2

∴，

由(1)知：△AED∽△BCE，

∴

∴

∴△BCE的周长不变.