Question

18．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在边BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．求证：△OEB≌△OFC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．

Answer 1

分析 （1）由HL证明Rt△OEB≌Rt△OFC，即可得出结论；
（2）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠EBO=∠FCO，再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠ABC=∠ACB，即可得出结论；
（3）不一定成立，①过点O作OE⊥AB的延长线于点E，作OF⊥AC的延长线于点F时，则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠DEO=∠FCO，
再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠EBC=∠FCB，∠ABC=∠ACB，即可得出AB=AC成立；②过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC的延长线于点F时，连接OA，则OE=OF，由HL证明Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），得出AD=AE，故AB=AC不成立．

解答 （1）证明：在Rt△OEB和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴△OEB≌△OFC；
（2）证明：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图1所示：
则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°
在Rt△BOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：不一定成立，理由如下：
分两种情况：
①过点O作OE⊥AB的延长线于点E，作OF⊥AC的延长线于点F，如图2所示：
则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，
在Rt△BOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL），
∴∠DEO=∠FCO
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC的延长线于点F，连接OA，如图3所示：
则OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AD=AE，
∴AB＞AC．

点评 此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，本题有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论．