Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，OA=2cm，OA⊥OB，AC交OB于D点，AD=2CD．

（1）求∠BOC的度数；

（2）求线段BD、线段CD和　 　BC围成的图形的面积．

Answer 1

【答案】(1) 30°;(2) 弧BC, .

【解析】

（1）作OF⊥AC于F，如图，设CD=x，则AD=2x，利用等腰三角形性质得AF=x，则DF=x，再证明△AOF∽△ODF，利用相似比得到OF=x，则利用三角函数可求出∠OAF=30°，从而得到∠BOC的度数；

（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到OF=1，AF=，则AC=2，所以CD=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用线段BD、线段CD和弧BC围成的图形的面积=S扇形BOC-S△ODC进行计算.

解：（1）作OF⊥AC于F，如图，设CD=x，则AD=2x，

∵OA=OC，

∴AF=AC=x，

∴DF=2x﹣x=x，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴△AOF∽△ODF，

∴OF2=AFDF=xx，

∴OF=x，

在Rt△OAF中，tan∠OAF===，

∴∠OAF=30°，

∴∠AOC=120°，

∴∠BOC=120°﹣90°=30°；

（2）∵OA=2，

∴OF=1，AF=，

∴AC=2，

∴CD=AC=，

∴线段BD、线段CD和弧BC围成的图形的面积=S扇形BOC﹣S△ODC=﹣1=．