Question

如图，已知点P在x轴上，⊙P与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若B点坐标为（1，0），点C坐标为（0，-2）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）在所给的坐标系中画出抛物线的草图；
（3）观察图象，当x满足条件

 

时，y＜0．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BC，由圆周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，CO⊥AB，利用射影定理即可求得OA的长，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）通过描点、连线画出（1）题所得抛物线的函数图象即可；
（3）由图可知，抛物线的开口向上，在A-B之间抛物线的图象在x轴下方，可据此求出y＜0时，自变量的取值范围．

解答：解：（1）连接AC、BC．
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，OC⊥AB，由射影定理得：
OC²=OA•OB，即OA=OC²÷OB=4，
∴A（-4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x+4）（x-1），依题意有：
a（0+4）（0-1）=-2，
解得a=

1

2

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

（x+4）（x-1）=

1

2

x²+

3

2

x-4；

（2）如右图；

（3）由图知：在A、B之间的抛物线图象都在x轴下方，已知A（-4，0），B（1，0），
故当-4＜x＜1时，y＜0．

点评：此题主要考查了圆周角定理、二次函数解析式的确定以及图象的画法，要求学生能够根据函数图象来判断不同的自变量取值范围内函数值的变化情况，属于基础题，需要熟练掌握．