Question

抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM的形状，并说明理由。

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。

（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。

Answer 1

解：（1）令，得

    由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形

（2）设

∵△ABM是等腰直角三角形

∴斜边上的中线等于斜边的一半

又顶点M(－2，－1)

∴，即AB＝2

∴A(－3，0)，B(－1，0)

将B(－1，0) 代入中得

∴抛物线的解析式为，即

图略

（3）设平行于轴的直线为

解方程组

得，  （

∴线段CD的长为

∵以CD为直径的圆与轴相切

据题意得

∴

解得

∴圆心坐标为和。