Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．
（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；
②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．

解答：解：（1）由题意可得，

a+b+c=0 - b 2a =1 c=1.

，
解得

a=1 b=-2 c=1.

，
故抛物线对应的函数的解析式为y=x²-2x+1；

（2）①将y=x²-2x+1向下平移m个单位得：y=x²-2x+1-m=（x-1）²-m，
可知A（1，-m），B（1-

m

，0），C（1+

m

，0），BC=2

m

，
过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴BH=HC=

1

2

BC，∠CAH=30°，
∴AH=

HC

tan∠CAH

，即

m

3 3

=m，
由m＞0，解得m=3．
②在抛物线上存在点P，能使四边形CBDP为菱形．理由如下：
∵点D与点A关于x轴对称，
∴D（1，3），
①当DP为对角线时，显然点P在点A位置上时，符合题意，
故此时点P坐标为（1，-3）；
②当DP为边时，要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由点D的坐标为（1，3），DP=BC=2

3

，可知点P的横坐标为1+2

3

，
当x=1+2

3

时，y=x²-2x+1-m=x²-2x-2=(1+2

3

)2-2（1+2

3

）-2=11≠3，
故不存在这样的点P．
综上可得，存在使四边形CBDP为菱形的点P，坐标为（1，-3）．

点评：此题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律．