Question

【题目】定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形中，若，则称四边形为准平行四边形.

（1）如图①，是上的四个点，，延长到，使.求证:四边形是准平行四边形；

（2）如图②，准平行四边形内接于，，若的半径为，求的长；

（3）如图③，在中，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先根据同弧所对的圆周角相等证明三角形ABC为等边三角形，得到∠ACB=60°，再求出∠APB=60°，根据AQ=AP判定△APQ为等边三角形，∠AQP=∠QAP=60°，故∠ACB=∠AQP，可判断∠QAC＞120°，∠QBC＜120°，故∠QAC≠∠QBC，可证四边形是准平行四边形；

（2）根据已知条件可判断∠ABC≠∠ADC，则可得∠BAD=∠BCD=90°，连接BD，则BD为直径为10，根据BC=CD得△BCD为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BDC=45°，在直角三角形BCD中利用勾股定理或三角函数求出BC的长，过B点作BE⊥AC，分别在直角三角形ABE和△BEC中，利用三角函数和勾股定理求出AE、CE的长，即可求出AC的长.

（3）根据已知条件可得：∠ADC=∠ABC=60°，延长BC 到E点，使BE=BA，可得三角形ABE为等边三角形，∠E=60°，过A、E、C三点作圆o，则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上（点A、点E除外），连接BO交弧AE于D点，则此时BD的长度最大，根据已知条件求出BO、OD的长度，即可求解.

（1）∵

∴∠ABC=∠BAC=60°

∴△ABC为等边三角形，∠ACB=60°

∵∠APQ=180°-∠APC-∠CPB=60°

又AP=AQ

∴△APQ为等边三角形

∴∠AQP=∠QAP=60°

∴∠ACB=∠AQP

∵∠QAC=∠QAP+∠PAB+∠BAC=120°+∠PAB＞120°

故∠QBC=360°-∠AQP-∠ACB-∠QAC＜120°

∴∠QAC≠∠QBC

∴四边形是准平行四边形

（2）连接BD，过B点作BE⊥AC于E点

∵准平行四边形内接于，

∴∠ABC≠∠ADC，∠BAD=∠BCD

∵∠BAD+∠BCD=180°

∴∠BAD=∠BCD=90°

∴BD为的直径

∵的半径为5

∴BD=10

∵BC=CD,∠BCD=90°

∴∠CBD=∠BDC=45°

∴BC=BD sin∠BDC=10 ，∠BAC=∠BDC=45°

∵BE⊥AC

∴∠BEA=∠BEC=90°

∴AE=ABsin∠BAC=6

∵∠ABE=∠BAE=45°

∴BE=AE=

在直角三角形BEC中，EC=

∴AC=AE+EC=

（3）在中，

∴∠ABC=60°

∵四边形是准平行四边形，且

∴∠ADC=∠ABC=60°

延长BC 到E点，使BE=BA，可得三角形ABE为等边三角形，∠E=60°，过A、E、C三点作圆o，因为∠ACE=90°，则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上（点A、点E除外），此时，∠ADC=∠AEC=60°，连接BO交弧AE于D点，则此时BD的长度最大.

在等边三角形ABE中，∠ACB=90°，BC=2

∴AE=BE=2BC=4

∴OE=OA=OD=2

∴BO⊥AE

∴BO=BEsin∠E=4

∴BD=BO+0D=2+

即BD长的最大值为2+