Question

4．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan∠BAP的值为1；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan∠BAP的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出BP=CP=3，由三角函数定义即可得出结果；
（2）分两种情况：①AP=AD=6；PD=AD=6时；由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，
∵PA=PD，
∴由勾股定理得：BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴tan∠BAP=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{3}{3}$=1；
故答案为：1；
（2）分两种情况：
①AP=AD=6时，BP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAP=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$；
②PD=AD=6时，CP=$\sqrt{P{D}^{2}-C{D}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BP=BC-CP=6-3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAP=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{6-3\sqrt{3}}{3}$=2-$\sqrt{3}$

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键．