Question

9．如图1是一个由正方体和正五棱柱组合的异型魔方，其俯视图如图2所示，若图2中正方形的面积为a²，则阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{5}{4}$a²tan54°
• B． $\frac{5}{4}$a²tan36°
• C． $\frac{5}{4}$a²cos36°
• D． $\frac{5}{4}$a²cos54°

Answer 1

分析 根据题意得出正五边形的边长AB=a，连接OA、OB，作OM⊥AB于M，则AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，由正五边形和三角函数求出OM=$\frac{1}{2}$a•tan54°，由三角形的面积公式求出△AOB的面积，即可得出结果．

解答 解：∵图2中正方形的面积为a²，
∴图2中正方形的边长为a，
即正五边形的边长AB为a，如图所示：
连接OA、OB，作OM⊥AB于M，
则AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，∠AOB=$\frac{360°}{5}$=72°，
∴∠AOM=36°，
∴∠OAM=54°，
∴OM=AM•tan54°=$\frac{1}{2}$a•tan54°，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a²•tan54°=$\frac{1}{4}$a²•tan54°，
∴正五边形的面积=5×$\frac{1}{4}$a²•tan54°=$\frac{5}{4}$a²tan54°．
故选：A．

点评 本题考查略解直角三角形的应用、三视图、正五边形的性质以及有关计算；熟练掌握正五边形的性质，通过解直角三角形求出OM是解决问题的关键．，