Question

我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交.类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，则称这条直线与这个正方形相交.已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1).

(1)判断直线y＝x＋与正方形OABC是否相交，并说明理由；

(2)设d是点O到直线y＝－x＋b的距离，若直线y＝－x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围.

Answer 1

解：(1)相交.                                                          (2分)

∵直线y＝x＋与线段OC交于点(0，)　同时                            (3分)

直线y＝x＋与线段CB交于点(，1)，                                  (4分)

∴直线y＝x＋与正方形OABC相交.

(2)当直线y＝－x＋b经过点B时，

　 即有1＝－＋b，

∴b＝＋1.

即 y＝－x＋1＋.                                                  (5分)

记直线y＝－x＋1＋与x，y轴的交点分别为D，E.

则D(，0)，E(0,1＋).                                            (6分)

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝＝＝，

∴∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁＝d₁.                               (7分)

在Rt△OF₁E中，∵∠OED＝30°，

∴d₁＝.                                                         (8分)

法2：∴DE＝(3＋).

过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁＝d₁.                                (7分)

∴d₁＝×(1＋)÷[(3＋)]

＝.                                                         (8分)

∵直线y＝－x＋b与直线y＝－x＋1＋平行.

法1：当直线y＝－x＋b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与点O，B重合.故直线y＝－

x＋b也一定与线段OF₁相交，记交点为F，则F不与点O，F₁重合，且OF＝d. (9分)

∴当直线y＝－x＋b与正方形相交时，

有0＜d＜.                                                      (10分)

法2：当直线y＝－x＋b与直线y＝x(x＞0)相交时，

有 x＝－x＋b，即x＝.

①当0＜b＜1＋时，0＜x＜1,0＜y＜1.

此时直线y＝－x＋b与线段OB相交，且交点不与点O，B重合.

②当b＞1＋时，x＞1，

此时直线y＝－x＋b与线段OB不相交.

而当b≤0时，直线y＝－x＋b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交.

∴当0＜b＜1＋时，直线y＝－x＋b与正方形OABC相交.               (9分)

此时有0＜d＜.                                                  (10分)