Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0≤t≤4）．
（1）当t为何值时，PQ⊥BC？
（2）写出△PBQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由已知可以求出BD的值，因为PQ⊥BC，所以△BPQ∽△BDC，根据三角形相似得到三角形的边长比，根据边长比可得一个关于t的一元一次方程，解此方程可得t的值；
（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，从而得到△BPM∽△BDC，根据相似比例求出PM的长，可以得到用t表示面积的函数解析式，再求最大值；
（3）分三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分别求t的值．

解答：解：（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t，
∵PQ⊥BC，
∴△BPQ∽△BDC，
∴

BP

BD

=

BQ

BC

即

5-t

5

=

t

4

，
∴t=

20

9

，
当t=

20

9

时，PQ⊥BC；

（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC，
∴

5-t

5

=

PM

3

，
∴PM=

3

5

(5-t)，
∴S=

1

2

t×

3

5

(5-t)=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴当t=

5

2

时，S有最大值

15

8

；

（3）①当BP=BQ时，5-t=t，
∴t=

5

2

②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=

1

2

BP=

5-t

2

∴△BQE∽△BDC
∴

BE

BC

=

BQ

BD

即

5-t 2

4

=

t

5

∴t=

25

13

③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，此时，BF=

1

2

BQ=

t

2

∴△BPF∽△BDC
∴

BF

BC

=

BP

BD

即

t 2

4

=

5-t

5

∴t=

40

13

∴t1=

40

13

，t2=

5

2

，t3=

25

13

，均使△PBQ为等腰三角形．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，其中涉及解一元一次方程和等腰三角形的相关性质．