Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
（1）点P在BC上运动的过程中y的最大值为

 

cm；
（2）当y=

1

4

cm时，求x的值为

 

cm．

Answer 1

分析：（1）不管P如何移动，都有△ABP∽△PCQ，根据比例线段可得到关于y的表达式，再根据二次函数来求出y的最大值．
（2）由y的值代入函数式即可求出x的值．

解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，点在BC上运动时始终有

BP

AB

=

CQ

PC

，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴

x

4

=

y

4-x

，
∴y=-

1

4

（x²-4x）=-

1

4

（x²-4x+4）+1=-

1

4

（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-

1

4

＜0，
∴y随x的增大而减小，y有最大值（当x=2时），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-

1

4

（x²-4x）当y=

1

4

cm时，

1

4

=-

1

4

（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=

-(-4)± 12

2

=2±

3

．
∵0＜2±

3

＜4，
∴当y=

1

4

cm时，x的值是（2+

3

）cm或（2-

3

）cm．

点评：本题主要运用了相似三角形的判定和性质，以及二次函数求最大值的内容和相关知识．