Question

【题目】在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么____________

Answer 1

【答案】4或

【解析】

当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C= A1E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2 A1E=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A1FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A1EF=90°时，如图1，
∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A1C=AC=4，∠ACB=∠A1CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A1EF，
∴AC∥A1E，
∴∠ACB=∠A1EC，
∴∠A1CB=∠A1EC，
∴A1C= A1E=4，
Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2 A1E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=
②当∠A1FE=90°时，如图2，
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CB A1=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为：4或4.