Question

4．甲、乙两人同时开车从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都以两种不同的速度V₁与V₂（V₁＞V₂）行驶．甲前一半路程以速度V₁匀速行驶，后一半路程以速度V₂匀速行驶；乙前一半时间以速度匀速V₂行驶，后一半时间用以速度V₁匀速行驶．
（1）设甲乙两人从A地到B地的平均速度分别为V_甲和V_乙，则V_甲=$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；V_乙=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$（用含V₁、V₂的式子表示）． 
（2）甲、乙两人乙（填甲或乙）先到达B地．
（3）如图是甲、乙二人从A地到B地的路程S（千米）和时间t（小时）之间的函数图象．请你求出：
①S、V₁、V₂的值．
②甲乙出发后几小时在途中相遇？

Answer 1

分析 （1）根据甲、乙从A地到B地的平均速度=总路程÷总时间，即可求得；
（2）相同的路程，速度大的先到达B地，故只需比较甲、乙速度大小即可；
（3）①由题意可知，乙行驶全程需4小时，前半时间即2小时，可求v₂，
根据甲行驶总路程=乙行驶总路程列方程可得v₁，将甲行驶一半路程乘以2可得总路程S；
②甲、乙途中相遇可得甲行驶路程=乙行驶路程，列方程可求时间t．

解答 解：（1）设A、B两地间的路程为2S，乙从A到B所用总时间为2t，
${V}_{甲}=\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，${V}_{乙}=\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（2）${V}_{乙}-{V}_{甲}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}-\frac{4{v}_{1}{v}_{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$
=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$
∵v₁＞v₂
∴V_乙-V_甲＞0，乙先到达B地；
（3）①由（2）知乙先到达B地，结合函数图象乙行驶全程需要4小时，
∴乙行驶一半时间（2小时）开了100千米，则v₂=100÷2=50（千米/小时），
根据题意，得：2v₁+100=1.5v₁×2，解得v₁=100（千米/小时），
A地到B地的路程S=2v₁+100=2×100+100=300（千米），
故v₁=100，v₂=50，S=300；
  ②结合函数图象可知甲乙出发后在途中相遇时已过路程中点或时间中点，
∴根据题意有，150+50（t-1.5）=2×50+100（t-2），
解得t=3.5．
甲乙出发后3.5小时在途中相遇．

点评 本题重点考查了一次函数的实际应用和函数图象相结合的问题，还考查了方程的应用，属中档题．