Question

【题目】已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且 的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52 ，
设P的坐标为（ cosθ， sinθ），
过点B作BD垂直x轴，
∵sinA= ，AB=3
∴BD=ABsinA= ，AD=ABcosA= ×3= ，
∴OD=AO﹣AD=2.5﹣ = ，
∴B（﹣ ， ），
∵A（﹣ ，0），C（ ，0）
∴ =（ ， ）， =（5，0）， =（ cosθ+ ， sinθ）
∵ =x +y
∴（ cosθ+ ， sinθ）=x（ ， ）+y（5，0）=（ x+5y， x）
∴ cosθ+ = x+5y， sinθ= x，
∴y= cosθ﹣ sinθ+ ，x= sinθ，
∴x+y= cosθ+ sinθ+ = sin（θ+φ）+ ，其中sinφ= ，cosφ= ，
当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为 + = ，
故选：B
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面向量的基本定理及其意义的相关知识，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．