Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，且．

（1）若是第二象限位于直线上方的一点，过作于，过作轴交直线于，为中点，其中的周长是，若为线段上一动点，连接，求的最小值，此时轴上有一个动点，当最大时，求点坐标；

（2）在（1）的情况下，将绕点顺时针旋转后得到，如图2，将线段沿着轴平移，记平移过程中的线段为，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，或或

【解析】

（1）点，则点，过点C作x轴的垂线、过点M作y轴的垂线，两垂线交于点H， MH=MC=MC， 当点E、M、H三点共线时，EM+MH=EM+MC最小， 点M，连接BM交于y轴于点G，此时最大，即可求解；

（2）设线段沿着x轴平移了m个单位，则点、的坐标分别为、，而点E，

①当是菱形的边时，则EP()==OA=，即可求解；

②当是菱形的对角线时，

设点P(a，b)， 由中点公式得：，，而EO=EA，即：+=，即可求解.

（1）由AC: 得：点A、C的坐标分别为：、，

∴AO=，CO=，，

则，则，

点B，点A，代入y=ax+b，

得：，解得：，

则直线AB的表达式为：，

∴BO=9，AO=

∴，则，，

∵FEAB，FD∥y轴，则，

设：DE=s，则DF=2s，EF=s， 的周长是12+，解得：s=4，

D为AB的中点，则点 ，

s=ED=4，则，

则点，

过点C作x轴的垂线、过点M作y轴的垂线，两垂线交于点H，如图1：

则，则MH=MC=MC，

当点E、M、H三点共线时，EM+MH=EM+MC最小，

则，

作点M在直线AC上，则点M，

作点M关于y轴的对称点，连接BM交于y轴于点G，如图2：

则点G为所求，此时最大，

将B、的坐标代入一次函数表达式：，

解得：

故点G的坐标为；

综上，EM+MC最小值为：， G的坐标为：；

（2）将绕O点顺时针旋转后得到，

则为边长为4的等边三角形，则点，

设线段沿着x轴平移了m个单位，

则点、的坐标分别为、，而点E，

①当是菱形的边时，

直线和直线AB的倾斜角都是，故∥∥AB，

则EP()==OA=，

则，

故点P，

同理点;

②当是菱形的对角线时，

设点P(a，b)，

由中点公式得：，，

而EO=EA，即：+=，

解得，b=-2，，

故：，b=-2，

则点P；

综上，点P坐标为：或或.