Question

已知抛物线y=ax²-4ax+c与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴，点C是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；
（2）若抛物线经过点（-2，0），求抛物线的表达式；
（3）对（2）中的抛物线，点D在线段AB上，若以点A、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，试求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据题意得出x=-

-4a

2a

，求出对称轴为直线x=2；知道点A的坐标，点B是抛物线上的点AB∥x轴，即可求出抛物线的对称轴及B点坐标
（2）根据抛物线经过点（0，3），（-2，0），所以有

c=3 4a+8a+3=0

，解出a、c的值，即可求出抛物线的表达式．
（3）先根据抛物线的对称轴为直线x=2，求出C的坐标，再过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，设对称轴与AB交于点F．
求出EOC∽△FAC，∠AOC=∠CAF，当△AOC∽△DAC时，求出AO、CO、AC的值，最后求出AD=

3

2

，D(

3

2

，3)；当△AOC∽△CAD时，再求出AD的值，最后求出点D的坐标即可．

解答：解：（1）由题意得，x=-

-4a

2a

，
∴对称轴为直线x=2；
∵点A（0，3），点B是抛物线上的点，AB∥x轴，
∴AB被直线x=2垂直平分，
∴B（4，3）．

（2）∵抛物线经过点（0，3），（-2，0），所以有

c=3 4a+8a+3=0

，
解得

a=- 1 4 c=3.

，∴抛物线的表达式为y=-

1

4

x2+x+3．

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴C（2，4），
过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，设对称轴与AB交于点G，
连接OC，交AB与点F，
∵AB∥x轴，∴∠CEA=90°，∴∠CEO=∠CGA，
又∵

CE

OE

=

2

4

=

1

2

，

CG

AG

=

1

2

，∴

CE

OE

=

CG

AG

，
∴△EOC∽△GAC，
∴∠AOC=∠CAG，
当△AOC∽△DAC时，有

AO

AD

=

CO

AC

，
∵AO=3，CO=2

5

，AC=

5

，
∴AD=

3

2

，∴D(

3

2

，3)；
当△AOC∽△CAD时，有

AO

AC

=

CO

AD

，
∴AD=

10

3

，∴D(

10

3

，3)，
∴点D的坐标为(

3

2

，3)或(

10

3

，3)．

点评：本题主要考查了函数和相似三角形的综合应用问题，解题时要注意分类讨论和数形结合的思想方法．