Question

【题目】在中, ,,,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、于点、.

特例

（1）如图1，若，不添加辅助线，图1中所有与相似的三角形为 ， ；

操作探究：

（2）将（1）中的从图1的位置开始绕点按逆时针方向旋转，得到，如图2，当射线，分别交边、于点、时，求的值；

拓展延伸：

（3）如图3，中，，，，点是斜边的中点，以点为顶点作，射线、分别交边、的延长线于点、，则的值为 .（用含、的代数式表示，直接回答即可）

Answer 1

【答案】解：（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）根据预备定理以及相似三角形的性质，即可得到结论；

（2）由旋转可知: ,且证得∽，利用（1）中的结论可求得答案；

（3）构造辅助线，易证得，利用上述的方法，可求得结论.

解：（1），∴

∵，，

∴，∴

∵点是斜边的中点,，，

∴，

∴

故答案是：，，

（2）由（1）得，∽

∴

∵点是斜边的中点

∴

∵

∴

同理可得

由旋转可知: ,且

∴∽

∴

(3) 作DPBC于P，作DQAC于Q，如图，

∵DPBC，，点是斜边的中点，

∴，∴，

∵DQAC，，点是斜边的中点，

∴，∴，

∵DPBC，DQAC，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，