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    阅读材料并解答问题：
    与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．
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    （1）如图1，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
    ∴OC⊥AB，
    ∴OA=OB，
    ∴∠AOC=
    1
    2
    ∠AOB，∴AB=2BC．
    在Rt△AOC中，
    ∵∠AOC=
    1
    2
    •
    360°
    3
    =60°，OC=r，
    ∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
    ∴S△OAB=
    1
    2
    •r•2r•tan60°=r2tan60°，
    ∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60度．
    （2）如图2，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=4S△OAB=
     
    ；
    （3）如图3，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
    （4）如图4，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=
     
    ．
    分析：根据正n边形倍所有的半径分割成了n个全等三角形，只需首先计算其中一个三角形的面积．根据其边心距结合锐角三角函数表示出正多边形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算，进一步得到其正多边形的面积．
    解答：精英家教网解：（2）4r2tan45°．（2分）

    （3）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，
    ∴OC⊥AB，∵OA=OB，
    ∵∠AOC=
    1
    2
    •
    360°
    5
    =36°，OC=r，（3分）
    ∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，（4分）
    ∴S△OAB=
    1
    2
    •r•2r•tan36°=r2tan36°，（4分）
    ∴S正五边形=5S△OAB=5r2•tan36°．（6分）

    （4）nr2tan
    180°
    n
    ．（8分）
    点评：能够熟练运用锐角三角函数进行求解．注意：正n边形的半边所对的角是中心角的一半，即
    180°
    n
    ．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料并解答问题：
    我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
    关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
    方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=
    1
    2
    （m2-1）和c=
    1
    2
    （m2+1）是勾股数．
    方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
    （1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
    （2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
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    （3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树
     
    棵．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    24、阅读材料并解答问题：
    很多代数原理，可以用几何模型来表示．例如：代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用图1或图2等图形的面积表示．

    （1）请写出图3所表示的代数恒等式：
    （a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2

    （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2
    （3）下列有几张如图所示的卡片，用它们拼一些新的图形，验证下列两个公式：
    （1）（a-b）2=a2-2ab+b2    （2）（a+b）2-（a-b）2=4ab

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料并解答问题
    如图①，以Rt△ABC的直角边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，可以得出结论△ABC的面积与△AEG的面积相等．
    （1）在图①中的△ABC的直角边AB上任取一点H，连接CH，以BH、HC为边分别向外作正方形HBDE和正方形HCFG，连接EG，得到图②，则△HBC的面积与△HEG的面积的大小关系为
     
    ．
    （2）如图③，若图形总面积是a，其中五个正方形的面积和是b，则图中阴影部分的面积是
     
    ．
    （3）如图④，点A、B、C、D、E都在同一直线上，四边形X、Y、Z都是正方形，若图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料并解答问题：
    与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
    如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=
    1
    2
    AOB    ，AB=2BC．
    在Rt△AOC中，∵∠AOC=
    1
    2
    •
    360°
    3
    =60°    ，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=
    1
    2
    •r•2rtan60°=r2tan60°    ，∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60°．
    （1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=
     
    ；
    （2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
    （3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=
     
    ．
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